Reincarnation

正因为梦易碎，才格外美好。

P8861 线段

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本文字数： 12k 阅读时长 ≈ 11 分钟

整的挺 的 神仙题。

形式化题意

一共有 次操作，分为 ，表示为：

  • 加入一个二元组 ，可以抽象为一条线段；
  • 提取一个二元组 ，并搜索已加入的线段集中 的线段修改为 ；
  • 提取一个二元组 ，并搜索已加入的线段集中 ，求 。

其中 。强制在线。

原题意概括

评测渠道：https://www.luogu.com.cn/problem/P8861

再形式化一点：

  • 加入一条线段为 ；
  • 将与 相交的线段修改为与 的交；
  • 求与 相交的线段与 的长度和。

其中，线段 的长度为 ，强制在线。

不形式化题解

作为 ，肯定不可能去打正解。

我们首先肯定可以 暴力，喜提八分。

然后里面有一些对 的分别限制，其中 使得我们可以暴力维护操作 ，然后考虑怎么在 的时间内查询，发现这个线段格式类似于线段树，就可以将整个值域映射到一棵线段树中，然后查找就类似于区间和那样子了，但是这里的线段长度定义为 ，所以我们需要舍弃端点，添加为 ，但由于线段可能退化成点，所以需要特判（伏笔）。

然后其中有一个 为 ，并不理解是个什么意思，但仔细思考一下，所有插入以及询问的线段都经过了 ，那就必定有交，然后我们在 这个地方给它划一笔，然后对左边和右边分别维护，然后这就是一个可以支持区间 的线段树就可以了。

对于查询的话，可以考虑计算的是 ，用权值树状数组维护数的个数以及值域区间内和即可，时间复杂度 。

但是当 的时候，理论答案为 ，而我们计算得出的却是 ，所以我们需要对已经计算过的重复答案进行排重。这个的时间复杂度为 ，其中 为值域。

那这个东西能不能扩展一下然后来做这道题呢？答案当然是可以的。

我们观察发现，每一次的询问与修改都与 本身有关，但与 的配对无关，这是显然的，经过了同一个结点则必然有交。

然后我们考虑把 的分治整成区间内分治， 爷说用猫树，那就猫树分治，对于插入区间 ，我们找到猫树上一段 的区间 将其插入，最多递归 层，维护需要修改权值树状数组，时间为 ，然后在当前区间暴力检索所有线段并执行区间最值修改操作。根据势能分析，每一条线段至多被移动 次（因为只有 层），所以均摊时间复杂度为 ，这是 操作。

对于插入操作的话，我们就按照普通线段树的操作，然后更新一波树状数组即可，然后查询就按照区间最值线段树的方法来查询。

这样的话， 的时间复杂度都是两只 ，然后查询是一只 ，根据 爷算出来的复杂度，是：

结束。

一些补充

爷和狗在调的时候出现的一些错误：

  1. 这道题不一定需要使用区间最值线段树，可以用 或者堆来很好的维护（std 做法），不过线段树的可扩展性确实强，可以出一些更毒瘤的题。
  2. 然后因为奇妙的空间复杂度，建议 std::vector 。
  3. 伏笔回收， 时特判，否则 或者 。
  4. 对于线段树的初始化，一定要整完，否则会导致很多玄学错误。

整整花了一天调出来 。

AC Code
 
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// ----- Eternally question-----
// Problem: P8861 线段
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P8861
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 3000 ms
// Written by: Eternity
// Time: 2022-11-22 15:31:14
// ----- Endless solution-------

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
typedef long long ll;
typedef long double ld;
#define int long long
template<class T>
inline void read(T &x)
{
	x=0;
	char ch=getchar(),t=0;
	while(ch<'0'||ch>'9') t|=ch=='-',ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	if(t) x=-x;
}
template<class T,class ...T1>
inline void read(T &x,T1 &...x1){ read(x),read(x1...); }
template<class T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
template<>
inline void write(bool x){ putchar(x?'1':'0'); }
template<>
inline void write(char c){ putchar(c); }
template<>
inline void write(char *s){ while(*s!='\0') putchar(*s++); }
template<>
inline void write(const char *s){ while(*s!='\0') putchar(*s++); }
template<class T,class ...T1>
inline void write(T x,T1 ...x1){ write(x),write(x1...); }
template<class T>
inline bool checkMax(T &x,T y){ return x<y?x=y,1:0; }
template<class T>
inline bool checkMin(T &x,T y){ return x>y?x=y,1:0; }
const int MAXN=2e5+10,Len=2e5;
const int Mod=2e5+1;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int Q,Type,lastans;
struct Bit
{
	ll Tre[MAXN<<2];
	inline int lowbit(int x){ return x&(-x); }
	inline void add(int x,ll c){ for(;x<=Len;x+=lowbit(x)) Tre[x]+=c; }
	inline ll ask(int x)
	{
		ll res=0;
		for(;x;x-=lowbit(x)) res+=Tre[x];
		return res;
	}
}Tre1[2],Tre2[2];
struct Segment1
{
	struct Seg
	{
		int l,r;
		int minn,sec,cnt,tag;
	};
	std::vector<Seg>Tr;
	int Mid,L;
	inline void upDate(int p,int x){ Tr[p].minn+=x,Tr[p].tag+=x; }
	inline void pushUp(int p)
	{
		auto &nl=Tr[p<<1],&nr=Tr[p<<1|1],&rt=Tr[p];
        if(nl.minn<nr.minn)
            rt.minn=nl.minn,rt.cnt=nl.cnt,rt.sec=std::min(nl.sec,nr.minn);
        else if (nl.minn>nr.minn)
            rt.minn=nr.minn,rt.cnt=nr.cnt,rt.sec=std::min(nr.sec,nl.minn);
        else rt.minn=nl.minn,rt.cnt=nl.cnt+nr.cnt,rt.sec=std::min(nl.sec,nr.sec);
	}
	inline void pushDown(int p)
	{
		if(!Tr[p].tag) return ;
		int mnl=Tr[p<<1].minn,mnr=Tr[p<<1|1].minn;
		if(mnl<=mnr) upDate(p<<1,Tr[p].tag);
		if(mnl>=mnr) upDate(p<<1|1,Tr[p].tag);
		Tr[p].tag=0;
	}
	void build(int p,int l,int r,int *val)
	{
		Tr[p]={l,r};
		if(l==r) return Tr[p].minn=val[l],Tr[p].sec=INF,Tr[p].cnt=1,void();
		int mid=(l+r)>>1;
		build(p<<1,l,mid,val),build(p<<1|1,mid+1,r,val);
		pushUp(p);
	}
	void modifyX(int p,int x,int c)
	{
		if(Tr[p].l==Tr[p].r)
		{
			if(c<=Mid) Tre1[0].add(c,1),Tre1[1].add(c,c);
			return Tr[p].minn=c,void();
		}
		pushDown(p);
		modifyX(p<<1|(x*2>Tr[p].l+Tr[p].r),x,c);
		pushUp(p);
	}
	void modifyAdd(int p,int l,int r,int c)
	{
		if(Tr[p].l>r||Tr[p].r<l||Tr[p].minn>=c) return ;
		if(l<=Tr[p].l&&Tr[p].r<=r&&Tr[p].sec>c)
		{
			Tre1[0].add(Tr[p].minn,-Tr[p].cnt),
			Tre1[1].add(Tr[p].minn,-Tr[p].cnt*Tr[p].minn);
			Tre1[0].add(c,Tr[p].cnt),Tre1[1].add(c,Tr[p].cnt*c);
			return upDate(p,c-Tr[p].minn);
		}
		pushDown(p);
		modifyAdd(p<<1,l,r,c),modifyAdd(p<<1|1,l,r,c);
		pushUp(p);
	}
	void search(int p,std::vector<int>&vec,int inf)
	{
		if(Tr[p].minn>inf) return ;
		if(Tr[p].l==Tr[p].r) return vec.push_back(Tr[p].l);
		pushDown(p);
		search(p<<1,vec,inf),search(p<<1|1,vec,inf);
	}
	int ask(int p,int x)
	{
		if(Tr[p].l==Tr[p].r) return Tr[p].minn;
		pushDown(p);
		return ask(p<<1|(x*2>Tr[p].l+Tr[p].r),x);
	}
	void rebuild(std::vector<int>vec,int _l,int _m)
	{
		Mid=_m,L=_l;
		Tr.resize(vec.size()*4);
		build(1,0,vec.size()-1,vec.data());
	}
	Segment1():Tr(2,{0,0,INF}),Mid(0),L(0){}
};
struct Segment2
{
	struct Seg
	{
		int l,r;
		int maxn,sec,cnt,tag;
	};
	std::vector<Seg>Tr;
	int Mid,R;
	inline void upDate(int p,int x){ Tr[p].maxn+=x,Tr[p].tag+=x; }
	inline void pushUp(int p)
	{
		auto &nl=Tr[p<<1],&nr=Tr[p<<1|1],&rt=Tr[p];
		if(nl.maxn>nr.maxn)
			rt.maxn=nl.maxn,rt.cnt=nl.cnt,rt.sec=std::max(nl.sec,nr.maxn);
		else if(nl.maxn<nr.maxn)
			rt.maxn=nr.maxn,rt.cnt=nr.cnt,rt.sec=std::max(nr.sec,nl.maxn);
		else rt.maxn=nl.maxn,rt.cnt=nl.cnt+nr.cnt,rt.sec=std::max(nl.sec,nr.sec);
	}
	inline void pushDown(int p)
	{
		if(!Tr[p].tag) return ;
		int mxl=Tr[p<<1].maxn,mxr=Tr[p<<1|1].maxn;
		if(mxl>=mxr) upDate(p<<1,Tr[p].tag);
		if(mxl<=mxr) upDate(p<<1|1,Tr[p].tag);
		Tr[p].tag=0;
	}
	void build(int p,int l,int r,int *val)
	{
		Tr[p]={l,r};
		if(l==r)
		{
			Tr[p].maxn=val[l],Tr[p].sec=-INF,Tr[p].cnt=1;
			return ;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		build(p<<1,l,mid,val),build(p<<1|1,mid+1,r,val);
		pushUp(p);
	}
	void modifyX(int p,int x,int c)
	{
		if(Tr[p].l==Tr[p].r)
		{
			if(c>Mid) Tre2[0].add(c,1),Tre2[1].add(c,c);
			return Tr[p].maxn=c,void();
		}
		pushDown(p);
		modifyX(p<<1|(x*2>Tr[p].l+Tr[p].r),x,c);
		pushUp(p);
	}
	void modifyAdd(int p,int l,int r,int c)
	{
		if(Tr[p].l>r||Tr[p].r<l||Tr[p].maxn<=c) return ;
		if(l<=Tr[p].l&&Tr[p].r<=r&&Tr[p].sec<c)
		{
			Tre2[0].add(Tr[p].maxn,-Tr[p].cnt),
			Tre2[1].add(Tr[p].maxn,-Tr[p].cnt*Tr[p].maxn);
			Tre2[0].add(c,Tr[p].cnt),Tre2[1].add(c,Tr[p].cnt*c);
			return upDate(p,c-Tr[p].maxn);
		}
		pushDown(p);
		modifyAdd(p<<1,l,r,c),modifyAdd(p<<1|1,l,r,c);
		pushUp(p);
	}
	void search(int p,std::vector<int>&vec,int inf)
	{
		if(Tr[p].maxn<inf) return ;
		if(Tr[p].l==Tr[p].r) return vec.push_back(Tr[p].l);
		pushDown(p);
		search(p<<1,vec,inf),search(p<<1|1,vec,inf);
	}
	int ask(int p,int x)
	{
		if(Tr[p].l==Tr[p].r) return Tr[p].maxn;
		pushDown(p);
		return ask(p<<1|(x*2>Tr[p].l+Tr[p].r),x);
	}
	void rebuild(std::vector<int>vec,int _m,int _r)
	{
		Mid=_m,R=_r;
		Tr.resize(vec.size()*4);
		build(1,0,vec.size()-1,vec.data());
	}
	Segment2():Tr(2,{0,0,-INF}),Mid(0),R(0){}
};
struct Seg
{
	int l,r,siz;
	Segment1 Tr1;
	Segment2 Tr2;
}Tr[MAXN<<2];
void build(int p,int l,int r)
{
	Tr[p]={l,r,0,Segment1(),Segment2()};
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);
}
void insert(int p,int l,int r)
{
	if(Tr[p].l==Tr[p].r)
	{
		Tre1[0].add(l,1),Tre1[1].add(l,l);
		Tre2[0].add(l,1),Tre2[1].add(l,l);
		return ;
	}
	int mid=(Tr[p].l+Tr[p].r)>>1;
	if(r<=mid) return insert(p<<1,l,r);
	if(l>mid) return insert(p<<1|1,l,r);
	if(Tr[p].siz&(Tr[p].siz-1))
	{
		Tr[p].Tr1.modifyX(1,Tr[p].siz,l),
		Tr[p].Tr2.modifyX(1,Tr[p].siz,r);
		++Tr[p].siz;return ;
	}
	std::vector<int>Vl(Tr[p].siz),Vr(Tr[p].siz);
	for(int i=0;i<Tr[p].siz;++i)
		Vl[i]=Tr[p].Tr1.ask(1,i),Vr[i]=Tr[p].Tr2.ask(1,i);
	Vl.push_back(l),Vr.push_back(r);
	int bit=0;
	while((1<<bit)<=Tr[p].siz) ++bit;
	Vl.resize(1<<bit,INF),Vr.resize(1<<bit,-INF);
	Tr[p].Tr1.rebuild(Vl,Tr[p].l,mid),
	Tr[p].Tr2.rebuild(Vr,mid,Tr[p].r);
	++Tr[p].siz;
	Tre1[0].add(l,1),Tre1[1].add(l,l),
	Tre2[0].add(r,1),Tre2[1].add(r,r);
}
void modifyC(int p,int l,int r)
{
	if(l<=Tr[p].l&&Tr[p].r<=r) return ;
	int mid=(Tr[p].l+Tr[p].r)>>1;
	if(r<=mid)
	{
		std::vector<int>vec;
		Tr[p].Tr1.search(1,vec,r);
		for(int id:vec)
		{
			int cl=Tr[p].Tr1.ask(1,id),cr=Tr[p].Tr2.ask(1,id);
			Tr[p].Tr1.modifyX(1,id,INF),
			Tr[p].Tr2.modifyX(1,id,-INF);
			insert(p<<1,std::max(l,cl),r);
			Tre1[0].add(cl,-1),Tre1[1].add(cl,-cl),
			Tre2[0].add(cr,-1),Tre2[1].add(cr,-cr);
		}
		return modifyC(p<<1,l,r);
	}
	if(l>mid)
	{
		std::vector<int>vec;
		Tr[p].Tr2.search(1,vec,l);
		for(int id:vec)
		{
			int cl=Tr[p].Tr1.ask(1,id),cr=Tr[p].Tr2.ask(1,id);
			Tr[p].Tr1.modifyX(1,id,INF),
			Tr[p].Tr2.modifyX(1,id,-INF);
			insert(p<<1|1,l,std::min(r,cr));
			Tre1[0].add(cl,-1),Tre1[1].add(cl,-cl),
			Tre2[0].add(cr,-1),Tre2[1].add(cr,-cr);
		}
		return modifyC(p<<1|1,l,r);
	}
	Tr[p].Tr1.modifyAdd(1,0,Tr[p].siz-1,l),
	Tr[p].Tr2.modifyAdd(1,0,Tr[p].siz-1,r);
	modifyC(p<<1,l,r),modifyC(p<<1|1,l,r);
}
ll query(int l,int r)
{
	ll res=Tre1[0].ask(l)*l+Tre1[1].ask(Len)-Tre1[1].ask(l);
	res=res*-1+(Tre2[0].ask(Len)-Tre2[0].ask(r))*r+Tre2[1].ask(r);
	res+=l*Tre2[0].ask(l)-Tre2[1].ask(l);
	res+=Tre1[1].ask(Len)-Tre1[1].ask(r)-r*(Tre1[0].ask(Len)-Tre1[0].ask(r));
	return res;
}
signed main()
{
	// freopen("segment.in","r",stdin);
	// freopen("segment.out","w",stdout);
    read(Q,Type);
	build(1,0,Len);
	for(int opt,ql,qr;Q--;)
	{
		read(opt,ql,qr);
		ql=(ql+lastans*Type)%Mod,qr=(qr+lastans*Type)%Mod;
		if(opt==1) insert(1,ql,qr);
		else if(opt==2) modifyC(1,ql,qr);
		else write(lastans=query(ql,qr),'\n');
	}
	return 0;
}
/*
9 0
1 1 5
1 6 8
1 2 3
3 3 8
2 4 6
1 5 9
2 2 7
3 2 7
3 3 6
*/
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