P4556 [Vani有约会]雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

「末世追忆」:“炽焰卷天,在本就无望的未来上,灼烧出笼罩黑暗的深洞。”

题意

给定一棵 个结点的树,每次在路径 添上一种颜色 ,询问每一个结点颜色数量最多的颜色。

题解

树链剖分 x 树上差分

能想到,对于这种统计众值的 题并不好直接修改路径,所以考虑树上差分,把修改路径变成修改点,然后统计差分。那么,很容易想到,在 上添加 颜色,实质上就是在 结点加上 结点加上 减去 减去

这个差分的结论在树剖和线段树合并都是必须的。

然后考虑如何用树剖来维护。

因为是离线的查询,只有最后一次查询,所以可以考虑把所有修改放在一起用。

然后建立一棵值域线段树,并维护区间众值。最后按照 序统一修改,即可统计差分前缀和,我们需要的答案就是

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const int MAXN=1e5+10;
int N,Q;
struct TC
{
int next,to;
}Edge[MAXN<<1];
int Head[MAXN],Total;
inline void addEdge(int u,int v)
{
Edge[++Total]=(TC){Head[u],v};Head[u]=Total;
Edge[++Total]=(TC){Head[v],u};Head[v]=Total;
}
int Fa[MAXN],Siz[MAXN],Dep[MAXN],Son[MAXN];
void dfsTree(int x,int last)
{
Fa[x]=last,Siz[x]=1,Dep[x]=Dep[last]+1;
for(int e=Head[x],v;e;e=Edge[e].next)
{
if((v=Edge[e].to)==last) continue;
dfsTree(v,x);
Siz[x]+=Siz[v];
if(!Son[x]||Siz[v]>Siz[Son[x]]) Son[x]=v;
}
}
int Top[MAXN],Dfn[MAXN],Bck[MAXN],Cnt;
void dfsChain(int x,int topf)
{
Top[x]=topf,Dfn[x]=++Cnt;
Bck[Cnt]=x;
if(!Son[x]) return ;
dfsChain(Son[x],topf);
for(int e=Head[x],v;e;e=Edge[e].next)
{
if((v=Edge[e].to)==Fa[x]||v==Son[x]) continue;
dfsChain(v,v);
}
}
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
struct ST
{
int l,r,val,ans;
}Tr[MAXN<<2];
inline void pushUp(int p)
{
Tr[p].val=std::max(Tr[ls].val,Tr[rs].val);
if(Tr[p].val==Tr[ls].val) Tr[p].ans=Tr[ls].ans;
else Tr[p].ans=Tr[rs].ans;
}
void build(int p,int l,int r)
{
Tr[p]=(ST){l,r,0,0};
if(l==r) return ;
int mid=(l+r)>>1;
build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
}
void modifyCol(int p,int x,int c)
{
if(Tr[p].l==Tr[p].r)
{
Tr[p].val+=c;
Tr[p].val?Tr[p].ans=x:Tr[p].ans=0;
return ;
}
int mid=(Tr[p].l+Tr[p].r)>>1;
if(x<=mid) modifyCol(ls,x,c);
else modifyCol(rs,x,c);
pushUp(p);
}
std::vector<std::pair<int,int>>Modi[MAXN];
inline void modifyDiff(int x,int y,int c)
{
while(Top[x]!=Top[y])
{
if(Dep[Top[x]]<Dep[Top[y]]) std::swap(x,y);
Modi[Dfn[Top[x]]].push_back({c,1});
Modi[Dfn[x]+1].push_back({c,-1});
x=Fa[Top[x]];
}
if(Dep[x]>Dep[y]) std::swap(x,y);
Modi[Dfn[x]].push_back({c,1});
Modi[Dfn[y]+1].push_back({c,-1});
}
int ans[MAXN];
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
read(N,Q);
for(int i=2,u,v;i<=N;++i)
{
read(u,v);addEdge(u,v);
}
dfsTree(1,0),dfsChain(1,1);
build(1,1,MAXN-10);
for(int u,v,c;Q--;)
{
read(u,v,c);modifyDiff(u,v,c);
}
for(int i=1;i<=N;++i)
{
int sz=Modi[i].size();
for(int j=0;j<sz;++j) modifyCol(1,Modi[i][j].first,Modi[i][j].second);
ans[Bck[i]]=Tr[1].ans;
}
for(int i=1;i<=N;++i) write(ans[i],'\n');
return 0;
}
/*
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3 4
5 3
2 3 3
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3 3 3
*/

线段树合并 x 树上差分

毕竟是模板题

考虑转换成有根树,对于每一个结点都建立一棵动态开点线段树,然后存储当前结点的答案,并从下至上合并即可。

然后你会发现,线段树合并的口胡都非常的轻松,但是用代码实现起来,需要熟练掌握模板,然后稍稍变换一点,其实也没有多么难写。(然后就写挂了,不太能理解 merge 函数明明很短每次都能把要么 p1,p2 搞混要么 lc,rc 搞混,还是需要提高码力啊)

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const int MAXN=1e5+10;
int N,Q,Idx,MaxCol;
struct ST
{
int lc,rc,val,cnt;
}Tr[MAXN*100];
inline void extend(int p1,int p2)
{
Tr[p1].val=Tr[p2].val,Tr[p1].cnt=Tr[p2].cnt;
}
inline void pushUp(int p)
{
if(Tr[Tr[p].lc].cnt>Tr[Tr[p].rc].cnt) extend(p,Tr[p].lc);
else if(Tr[Tr[p].lc].cnt<Tr[Tr[p].rc].cnt) extend(p,Tr[p].rc);
else if(Tr[Tr[p].lc].val<Tr[Tr[p].rc].val) extend(p,Tr[p].lc);
else extend(p,Tr[p].rc);
}
void modifyX(int &p,int c,int v,int l,int r)
{
if(!p) p=++Idx;
if(l==r)
{
Tr[p].cnt+=v,Tr[p].val=c;
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(c<=mid) modifyX(Tr[p].lc,c,v,l,mid);
else modifyX(Tr[p].rc,c,v,mid+1,r);
pushUp(p);
}
int merge(int p1,int p2,int l,int r)
{
if(!p1) return p2;
if(!p2) return p1;
if(l==r)
{
Tr[p1].cnt+=Tr[p2].cnt;
return p1;
}
int mid=(l+r)>>1;
Tr[p1].lc=merge(Tr[p1].lc,Tr[p2].lc,l,mid),
Tr[p1].rc=merge(Tr[p1].rc,Tr[p2].rc,mid+1,r);
pushUp(p1);
return p1;
}
struct G
{
int next,to;
}Edge[MAXN<<1];
int Head[MAXN],Total;
inline void addEdge(int u,int v)
{
Edge[++Total]=(G){Head[u],v};Head[u]=Total;
Edge[++Total]=(G){Head[v],u};Head[v]=Total;
}
int Fa[MAXN],Siz[MAXN],Dep[MAXN],Son[MAXN];
void dfsTree(int x,int last)
{
Fa[x]=last,Dep[x]=Dep[last]+1,Siz[x]=1;
for(int e=Head[x],v;e;e=Edge[e].next)
{
if((v=Edge[e].to)==last) continue;
dfsTree(v,x);
Siz[x]+=Siz[v];
if(!Son[x]||Siz[v]>Siz[Son[x]]) Son[x]=v;
}
}
int Top[MAXN],ans[MAXN],Rt[MAXN];
void dfsChain(int x,int topf)
{
Top[x]=topf;
if(!Son[x]) return ;
dfsChain(Son[x],topf);
for(int e=Head[x],v;e;e=Edge[e].next)
{
if((v=Edge[e].to)==Fa[x]||v==Son[x]) continue;
dfsChain(v,v);
}
}
inline int getLca(int x,int y)
{
while(Top[x]!=Top[y])
{
if(Dep[Top[x]]<Dep[Top[y]]) std::swap(x,y);
x=Fa[Top[x]];
}
return Dep[x]>Dep[y]?y:x;
}
std::vector<std::pair<int,int>>Modify[MAXN];
void reDfs(int x,int last)
{
for(int e=Head[x],v;e;e=Edge[e].next)
{
if((v=Edge[e].to)==last) continue;
reDfs(v,x);
Rt[x]=merge(Rt[x],Rt[v],0,MaxCol);
}
for(auto i:Modify[x]) modifyX(Rt[x],i.first,i.second,0,MaxCol);
ans[x]=Tr[Rt[x]].val;
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
read(N,Q);Rt[1]=1,Idx=N;
for(int i=2,u,v;i<=N;++i)
{
read(u,v);addEdge(u,v);
Rt[i]=i;
}
dfsTree(1,0),dfsChain(1,1);
for(int u,v,c;Q--;)
{
read(u,v,c);checkMax(MaxCol,c);
int o=getLca(u,v);
Modify[u].push_back({c,1}),Modify[v].push_back({c,1});
Modify[o].push_back({c,-1}),Modify[Fa[o]].push_back({c,-1});
}
reDfs(1,-1);
for(int i=1;i<=N;++i) write(ans[i],'\n');
return 0;
}
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