Caylay Hamilton定理

即使有一天我不在了，也不过活着罢了。

定理，中文翻译「凯莱-哈密顿定理」，运用于线性代数范畴，用于矩阵的特征方程式。

内容

定义 为一个 的矩阵，而 是 的单位矩阵，定义 的特征多项式为 ，那么 。

用数学语言理解为：

$$f_A(\lambda)=|\lambda I-A|,A\in M_{n\times n}(\mathbb F)\Longrightarrow f_A(A)=0$$

证明（数学归纳法）

当 时，。

设 时成立，，对于 时，故欲用数学归纳法，故要降阶。

取 在 上的一个特征值（由代数基本定理） ，则存在特征向量 ，使得 。

将 扩充成一组基 ，记 ，由于 是基，故 可逆。

$$\displaystyle AP=P\begin{pmatrix}\lambda_1 & \ast \\0 & A_1\end{pmatrix},P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda_1 & \ast \\0 & A_1\end{pmatrix}=\Lambda$$

于是 。

$$f_{\Lambda}(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda I-\begin{pmatrix}\lambda_1 & \ast \\ 0 & A_1\end{pmatrix}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda-\lambda_1 & \ast \\ 0 & \lambda I-A_1\end{vmatrix}=(\lambda-\lambda_1)f_{A_1}(\lambda)$$ $$\begin{align} P^{-1}f_A(A)P &=\nonumber f_A(P^{-1}AP) \\&=\nonumber (P^{-1}AP-\lambda_{1} I)f_{A_{1}}(P^{-1}AP) \\&=\nonumber (\Lambda-\lambda_{1}I)f_{A_1}(\Lambda) \\&=\nonumber \begin{pmatrix} 0 & \ast \\ 0 & A_1-\lambda_{1}I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_A(\lambda_1) & \ast' \\ 0 & f_{A_1}(A) \end{pmatrix} \\&=\nonumber \begin{pmatrix} 0 & \ast \\ 0 & A_1-\lambda_{1}I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_A(\lambda_1) & \ast' \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\&=0\nonumber \end{align}$$

按照如此方法并不能无法去掉 。

备注

$$\begin{align} P^{-1}AP&=\nonumber \begin{pmatrix} \lambda_1 & \ast \\ 0 & A_1 \end{pmatrix} \\\nonumber f_A(A)&=f_A(P\Lambda P^{-1}) \\&=\nonumber Pf_A(\Lambda)P^{-1} \\&=\nonumber P\begin{pmatrix} f_{\Lambda}(\lambda_{1}) & \ast' \\ 0 & f_{\Lambda}(A_1) \end{pmatrix}P^{-1} \\\nonumber f_A(\lambda)&=\nonumber {f_{(\lambda_1)}}^{(\lambda)}f_{A_1}(\lambda) \end{align}$$

证明二（计算上三角）

表示

$$A\sim\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \ast \\ &\ddots& \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix} =\Lambda$$

以及

$$f_{A}(\lambda)=(\lambda-\lambda_{1})\cdots(\lambda-\lambda_{n})$$

然后通过变形得到：

$$\begin{align} f_{A}(A)&=\nonumber f_{A}(P\Lambda P^{-1}),P^{-1}AP=\Lambda \\&=\nonumber Pf_{A}(\Lambda)P^A{-1} \\&=\nonumber P(\Lambda-\lambda_{1}I)\cdots(\Lambda-\lambda_{n}I)P^{-1} \\&=\nonumber P\begin{pmatrix} 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \ast \\ \vdots & \lambda_{2}-\lambda_{1} & & & \vdots \\ \vdots & & \lambda_{3}-\lambda_{1} & & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \lambda_{n}-\lambda_{1} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_{1}-\lambda_{2} & \cdots & \cdots & \cdots & \ast \\ \vdots & 0 & & & \vdots \\ \vdots & & \lambda_{3}-\lambda_{2} & & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \lambda_{n}-\lambda_{2} \\ \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} \lambda_{1}-\lambda_{n} & \cdots & \cdots & \cdots & \ast \\ \vdots & \lambda_{2}-\lambda_{n} & & & \vdots \\ \vdots & & \lambda_{3}-\lambda_{n} & & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}P^{-1} \\&=\nonumber P\thinspace OP^{-1} \\&=\nonumber O \end{align}$$

证明三（乘可逆阵）

找 使得

我们知道： 存在 可逆，使得 。

可以得到：

$$\begin{align} &P^{-1}AP =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{pmatrix}, A(P_{1},P_{2},\cdots,P_{n})=(P_{1},P_{2},\cdots,P_{n})\Lambda \nonumber \\&\nonumber f_{A}(A)P_{1}=(A-\lambda_{1}I)\cdots(A-\lambda_{n}I)P_{1}=(A-\lambda_{2}I)\cdots(A-\lambda_{n}I)(A-\lambda_{1}I)P_{1}=O \\&\nonumber f_{A}(A)P_{2}=(A-\lambda_{1}I)\cdots(A-\lambda_{n}I)P_{2}; \end{align}$$

由于

且 ，得到 ，以及：

$$(A-\lambda_{1}I)(A-\lambda_{2}I)(A-\lambda_{3}I)P_{3}=O$$

以此类推，得到：

$$\cdots(A-\lambda_{1}I)\cdots(A-\lambda_{i}I)P_{i}=O$$

最终得到：。